Väitöskirjatutkija ratkaisi yli 40 vuotta avoinna olleen matemaattisen kysymyksen

Susanna Heikkilä ratkaisi yhden topologian eli pinnan muotoja käsittelevän matematiikan avoimen ongelman. Tuloksen poikkeuksellisuudesta kertoo, että väitöskirja-artikkeli on hyväksytty julkaistavaksi erittäin arvostetussa Annals of Mathematics -tiedelehdessä.

Susanna Heikkilän ratkaisema matemaattinen ongelma liittyy kvasisäännöllisesti elliptisten 4-monistojen luokitteluun, jossa kysytään millaiset 4-ulotteiset muodot voidaan esittää 4-ulotteisen euklidisen avaruuden geometrian avulla.

Vuonna 1981 venäläis-ranskalainen matemaatikko, Abel-palkittu, Misha Gromov  kysyi, onko kvasisäännöllisen kuvauksen olemassaolo taattu, mikäli maalipuoli on yhdesti yhtenäinen, eli sen perusryhmä on triviaali eikä täten muodosta estettä. Kysymys oli avoin vuoteen 2019 saakka, jolloin Prywes antoi neliulotteisen vastaesimerkin. 

– Väitöstutkimukseni päätulos täydentää Gromovin kysymyksen vastausta, sillä päätuloksen avulla voidaan luokitella neljäulotteiset yhdesti yhtenäiset kappaleet, joille on olemassa kvasisäännöllinen kuvaus Euklidiselta avaruudelta, kertoo postdoctutkija Susanna Heikkilä.

Neulomista harrastava Susanna Heikkilä kuvaa asian myös neuleella. Neule valmistui väitöstilaisuuteen, jossa hän halusi kertoa yleistajuisesti tutkimuksestaan.

Neule kuvaa siirtymistä tasolta pallopinnalle. Siirtymä tunnetaan nimellä Alexander-kuvaus. Heikkilä kutoi erivärisiä tilkkuja, ja kokosi niistä shakkiruudukon, jonka kulmissa on eri väriset neliöt. Lisäksi tarvittiin pallo, jossa ylä- ja alapuoli on neulottu eri väreillä. Kun shakkiruudukko kierretään pallon ympärille, ja värilliset kulmat laitetaan kiinni toisiinsa, jää neliöiden väliin aukko. Tähän tiivistyy kvasisäännöllisten kuvausten idea: neuletta voidaan venyttää niin, että aukot menevät kiinni. 

Jännittävä julkaisuprosessi

Susanna Heikkilän väitöskirja-artikkelin tie on ollut poikkeuksellinen. 

Lähes kaksi vuotta sitten Heikkilä ja professori Pekka Pankka miettivät, uskaltaako väitöskirja-artikkelin lähettää yhteen maailman arvostetuimmista matematiikan alan tiedelehdistä. Annals of Mathematicsiin ei ole tapana lähettää ehdotuksia kokeilumielessä, eikä varsinkaan väitöskirja-artikkeleita. 

He tiesivät, että heillä on merkittävä tulos. Mutta oliko artikkeli riittävän hyvä maailman parhaimpiin lukeutuvaan tiedejulkaisuun? 

Riskinotto kannatti. Positiivista palautetta tuli toukokuussa 2024 ja pieniä muutoksia pyydettiin tekemään vielä marraskuussa 2024. Lopullinen varmistus julkaisusta tuli joulukuussa 2024 ja artikkeli tulee ulos maaliskuussa 2025. Artikkelin De Rham algebras of closed quasiregularly elliptic manifolds are Euclidean preprint versio on jo julkaistu arXivissa. 

Professori Pankka ei muista, että kyseisessä tiedelehdessä olisi julkaistu ainakaan suomalaisia väitöskirja-artikkeleita. 

Susanna Heikkilä oli ehtinyt siinä välissä jo väitellä. Kvasisäännöllisten kuvausten ja käyrien teoriaa käsittelevä väitöskirja Quasiregular geometry: from maps to curves hyväksyttiin kesäkuussa 2024 ja se koostuu neljästä osajulkaisusta, joista yksi käsittelee kvasisäännöllisiä kuvauksia ja kolme kvasisäännöllisiä käyriä. 

Tie matemaatikoksi

Matemaatikon ura ei ollut vielä lukiossa kirkkaana Heikkilän mielessä. Hänen luokanvalvojanaan toiminut matematiikan opettaja kuitenkin näki lahjakkuuden ja vinkkasi, että kannattaisi lähetä opiskelemaan matematiikkaa, niin Heikkilä päätyi Kumpulaan.  

Vasta toisena opiskeluvuonna professori Pekka Pankan vetämällä topologian kurssilla matematiikka alkoi todella kiinnostaa Heikkilää. Alkoi vuosien yhteistyö, joka huipentui huippuartikkeliin. 

Jo graduvaiheessa oli selvää, että Heikkilä aikoo jatko-opiskelijaksi, ja sen vuoksi hän teki Pekka Pankan ohjauksessa maisteritutkielmansa todella perusteellisesti. Työ kannatti, koska gradu oli melkein sellaisenaan valmis ensimmäiseksi väitöskirja-artikkeliksi. 

Susanna Heikkilän pro gradu -tutkielma "Kvasisäännöllisesti elliptisen moniston rajoitettu kohomologia” sai Matemaattis-luonnontieteellisten alojen akateemiset MAL yhdessä Tekniikan akateemiset TEKin kanssa vuosittain jakama pro gradu -palkinnon. Pro gradu -palkinnolla kiinnitetään huomiota matematiikan, fysiikan ja tietojenkäsittelytieteen opiskeluun ja tuodaan esiin näiden tieteiden merkitystä suomalaisessa yhteiskunnassa. 

– Tutkimustyö on tuntunut mielekkäältä, kun ympärillä on ollut kannustava ohjaaja ja työkavereita. Puolisokin löytyi samalta alalta, vaikka kotona ei iltaisin matematiikasta puhutakaan, hän kertoo. 

Vuoden 2025 alussa Heikkilä aloitti postdoc-tutkijana Jyväskylän yliopistossa ja hakee jatkorahoitusta, koska haluaa jatkaa kvasisäännöllisten kuvausten ja käyrien teorian tutkimista.  

Matemaatikon työ on ajattelua. Susanna Heikkilä kertoo, että mieluisin työtapa on kehitellä ajatuksia kynän ja paperin kanssa. Toisten kanssa työskennellessä liitutaulu on ehdoton.

Kvasisäännölliset elliptiset ongelmat

Kvasikonformigeometria tutkii infinitesimaalisen vääntymisen vaikutusta kappaleiden muotoon. Kvasisäännöllisillä kuvauksilla tutkitaan kvasikonformigeometrian piiriin kuuluvia peittämis kysymyksiä. Klassinen esimerkki näistä kysymyksistä on pintojen uniformisaatiolauseesta seuraava tulos: ainoat Riemannin pinnat, joille on olemassa epätriviaali holomorfinen kuvaus koko kompleksitasosta, ovat 2-ulotteinen pallo ja 2-ulotteinen torus. Erityisesti korkeamman genuksen pinnoille ei tällaista kuvausta ole olemassa. Tämä lause seuraa Poincarén ja Radón Riemannin pintoja käsittelevistä töistä 1900-alkuvuosilta. Nykyään tämä tulos on Riemannin pintojen oppikirjojen perustuloksia.

Erityisen mielenkiintoista on, että tämä kaksiulotteisten konformikuvausten tulos ei muutu, vaikka konformikuvausten sijaan tarkasteltaisiin kvasisäännöllisiä kuvauksia. Korkeammissa ulottuvuuksissa konformigeometria ja kvasikonformigeometria eriytyvät radikaalisti. Yhdistämällä Martion, Rickmanin ja Väisälän tulos vuodelta 1971 Zorichin lauseeseen vuodelta 1968 saadaan, että ainoat yhdesti yhtenäiset korkeampiulotteiset Riemannin monistot, joille on olemassa konformikuvaus euklidisesta avaruudesta, ovat euklidinen avaruus itse ja samanulotteinen pallo. Sen sijaan kvasisäännöllisiä kuvauksia voidaan löytää euklidisesta avaruudesta moniin eri avaruuksiin. Tällaisia monistoja kutsutaan kvasisäännöllisesti elliptiseksi.

Gromov kysyi vuonna 1981 onko olemassa suljettua yhdesti yhtenäistä korkeampiulotteista monistoa, joka ei ole kvasisäännöllisesti elliptinen. Olennaisesti Gromov kysyi onko olemassa homologista obstruktiota kvasisäännöllisesti elliptisille monistoille. Ensimmäisen osittaisen vastauksen tähän kysymykseen antoivat Bonk ja Heinonen (Acta Math., 2001) differentiaalimuotojen de Rham kohomologiaan perustuvalla kompaktiusargumentilla. Vastauksen Gromovin kysymykseen antoi Eden Prywes vuonna 2019 (Ann. Math). Hän osoitti, että suljetun kvasisäännöllisesti elliptisen n-moniston k:nnen de Rham kohomologian dimensio on korkeintaan n-toruksen k:nnen de Rham kohomologian dimensio. Seuraus tästä tuloksesta on, että suljetut monistot, joilla on suuri de Rham kohomologia, eivät voi olla kvasisäännöllisesti elliptisiä.

Tulos, jonka todistamme Heikkilän kanssa, antaa algebrallisen vastauksen Gromovin kysymykseen. Heuristisesti vastaus on seuraava: jotta suljettu monisto voisi olla kvasisäännöllisesti elliptinen, tulee sen alimonistojen leikkaukset (ymmärrettynä homologisesti) pystyä realisoimaan samanaikaisesti euklidisen avaruuden ulkoisessa algebrassa. Formaalisti tämä tarkoittaa, että suljetun n-moniston de Rham kohomologiasta tulee olla algebra monomorfismi n-ulotteisen euklidisen avaruuden ulkoiseen algebraan.

Tämän algebrallisen tuloksen avulla voidaan osoittaa, että on olemassa pieni kohomologisia suljettuja monistoja, jotka eivät ole kvasisäännöllisesti elliptisiä. Yhdistämällä tämä tulos Piergallinin ja Zuddaksen haarautuvien peitekuvausten konstruktioon sekä Donaldsonin ja Freedmanin suljettujen 4-monistojen luokitteluun saadaan luokittelu suljetuille yhdesti yhtenäisille kvasisäännöllisesti elliptisille 4-monistoille: ne ovat täsmälleen ne monistot, jotka saadaan korkeintaan kolmena yhdistettynä summana kahden 2-pallon tuloista tai yhdistettynä summana korkeintaan kolmesta 2-ulotteisista projektiivisista avaruuksista kummalla tahansa suunnistuksella. Tämä päättää Seppo Rickmanin aloittaman tutkimuksen suljetuista yhdesti yhtenäisistä kvasisäännöllisesti elliptisistä 4-monistoista.

Teksti: Pekka Pankka