Mitä hyötyä on puhtaasta matematiikasta?

– Matematiikan arvoa ei punnita sen käytännön sovellutuksilla, mutta aina kun ilmiöt voidaan kuvata matemaattisesti, niin ovet ovat auki sovellutuksiin, sanoo professori . Ja kääntäen, ilman yhteyttä muihin tieteisiin matematiikka näivettyy.

American Physical Societyn vuoden 2022 Matemaatisen fysiikan hän sai kvanttikenttien, olomuodonmuutosten ja turbulenssin teorioiden matemaattisista perusteista. Palkinto myönnettiin matemaattisesta perustutkimuksesta, mutta teoriaa voidaan käyttää esimerkiksi tutkittaessa jätevesien leviämistä pohjavedessä tai saasteiden leviämistä ilmakehässä.

puolestaan myönsi sovelletun ja teollisuusmatematiikan kansainvälinen kattojärjestö SIAM.  Palkittu tutkimus käsittelee painovoimateorian ja kvanttimekaniikan yhtenäisteoriaa. Siinä kehitetyllä matematiikalla on sovelluksia myös moniin muihin asioihin, kuten finanssimatematiikkaan tai geotermisen energian tuottamiseen.

– Perustutkimus on juuri sellaista, että yhdelle oivallukselle voi löytyä sovelluksia monella alalla. Molempia tarvitaan. Ilman perustutkimusta ei ole sovelluksia mutta toisinpäin myös. Sovellukset toimivat inspiraationa puhtaalle matematiikalle, sanoo Kupiainen.

Ajatukset ja ideat syntyvät yhdistellen

Kupiainen on pitkän uransa aikana usein sattumalta huomannut, että hänen tutkimansa matematiikka liittyykin johonkin luonnon ilmiöön tai sovellukseen.

Hän ei tiennyt turbulenssista mitään ennen kuin tajusi yhteyden omiin tutkimuksiinsa kuunnellessaan toisen tutkijan esitelmää aiheesta konferenssissa. Tämä sattuma johti Heinemann palkinnossa siteerattuun työhön yhdessä Krzysztof Gawedzkin (ENS, Lyon) kanssa.

Samalla tavoin alkoi yhteistyö Remi Rhodesin (Marseillen yliopisto) ja Vincent Vargasin (Geneven yliopisto) kanssa. Yhteistyön . Heidän tutkimuksensa käsittelee painovoimateorian ja kvanttimekaniikan yhtenäisteoriaa, jonka he onnistuivat ratkaisemaan eräässä erikoistapauksessa.

Einsteinin painovoimateoria eli yleinen suhteellisuusteoria kuvaa maailmankaikkeuden suuria rakenteita: planeettoja, tähtiä, galakseja. Kvanttimekaniikka taas kuvaa ainetta mikrotasolla: atomeita, ytimiä, kvarkkeja. Näiden kahden teorian yhtenäistäminen on yksi teoreettisen fysiikan suuria avoimia ongelmia. 

– Tämä ongelma helpottuu huomattavasti, jos oletamme että aika-avaruuden dimensio on kaksi eikä neljä kuten todellisuudessa. Osoitimme, että tämä yhtenäisteoria voidaan esittää matemaattisesti täsmällisesti sekä sen yhtälöt ratkaista eksplisiittisten kaavojen muodossa. Kaiken perustana on ns. DOZZ kaava jonka fyysikot Dorn, Otto, Zamolodchikov ja Zamolodchikov vuonna 1995 olettivat pätevän. Kaavan todistaminen on siitä lähtien ollut avoin matemaattinen ongelma, jonka ratkaisimme v. 2018. Tämän jälkeen käytimme tätä tulosta hyväksemme ja esitimme kaikki tuon “Liouville konformikenttäteorian”  lausekkeet eksplisiittisessä muodossa, kertoo Kupiainen. Tulos ei suinkaan ratkaise tuota alkuperäistä yhtenäisteorian ongelmaa mutta sillä on sovellutuksia muualla fysiikassa.

– Työmme taustalla on puhtaan matematiikan konstruktio nimeltään “multiplikatiivinen kaaos”, jonka voi ajatella kuvaavan satunnaisia fraktaaleita kaksiuloitteisessa maailmassa. Fraktaali on geometrinen kuvio, jossa esiintyy kaikissa mittakaavoissa uusia muotoja. Satunnainen fraktaali on tilastollinen joukko fraktaaleja. Esimerkiksi kuohuvan kosken pyörteet tai pilvet ovat tällaisia: kullakin ajanhetkellä ne ovat erilaisia mutta tilastollisesti ne ovat samankaltaisia, hän sanoo. 

DOZZ kaavan todistus oli täysin odottamaton seuraus työstä, jota Kupiainen, Rhodes ja Vargas olivat tehneet kaaokseen liittyen. Kupiainen muistuttaa, että multiplikatiivinen kaaos on löytänyt sovellutuksia paitsi tuossa painovoimateoriassa niin taas kerran turbulenssin kuvaamisessa, kuin myös  finananssimatematiikassa sekä hiljattain kallioperän huokoisuuden mallintamisessa (HY) ja (HY) työssä, jolla saattaa olla merkitystä geotermisen energian tuottamisessa.

Miten tämä kaikki liittyy kvanttitietokoneisiin?

Kvanttitietokoneiden kehittäminen ei käynnistynyt siitä, että IBM tai joku tutkimuslaitos olisi halunnut rakentaa kvanttitietokoneen. Kvanttimekaniikka on alun perin mikroskooppisen maailman kuvaamiseen kehitetty teoria. 1960-luvulla  teoreettinen fyysikko Richard Feynman spekuloi, että jos me haluamme joskus ihan oikeasti  ei vain ymmärtää mikroskooppista maailmaa mutta myös käyttää tätä teoreettista ymmärrystä esimerkiksi suunnittelemaan uusia aineita, niin meidän täytyy miettiä tällaista kvanttilaskentaa, tavallisen laskennan sijasta. Idea jäi itämään ja viimeisen kymmenen vuoden aikana sitä on toden teolla ryhdytty kehittämään eteenpäin.

Yhdessä (HY, Fysiikan osasto) ja Jukka Pekolan (Aalto yliopisto) kanssa Kupiainen on ollut mukana perustamassa Suomen kansallista kvantti-instituuttia, , jonka tavoitteena on edistää kvanttiteknologiaa suomalaisessa yhteiskunnassa eri aloilla. Se yhdistää eri alojen ihmisiä, toisaalta heitä, jotka kehittävät uusia tuotteita ja toisaalta puhdasta kokeellista ja teoreettista perustutkimusta tekeviä tutkijoita. Mukana on tutkijoita Helsingin yliopistosta, Aalto-yliopistosta ja VTT:ltä. Heillä kaikilla on annettavaa toisilleen.