Tutkimus avasi väittelijälle spektrien maailman

Riikka Schroderus laski kompositio-operaattoreiden spektrejä analyyttisten funktioiden muodostamissa Hilbertin avaruuksissa.

­- Lapsena halusin ruveta taikuriksi, en hienojen temppujen takia vaan ottaakseni selvää, mitä niiden taustalla on. Halusin nähdä piilossa olevat salaisuudet.

Näin sanoo matematiikan alalta toukokuun alkupuolella väittelevä Riikka Schroderus.

Hän on tutkinut rajoitettuja lineaarisia operaattoreita kompleksisissa ääretönulotteisissa Hilbertin avaruuksissa.

Operaattorit Hilbertin avaruudessa

Riikka Schroderuksen väitöskirja kuuluu matemaattisen funktionaalianalyysin ja tarkemmin operaattoriteorian piiriin. Funktionaalianalyysissä Hilbertin avaruus on keskeinen käsite, joka on saanut nimensä näitä avaruuksia 1900-luvun alkupuolella tutkineen matemaatikko David Hilbertin mukaan.

- Hilbertin avaruus on vektoriavaruus, jossa sisätulo määrää vektorin koon ja mahdollistaa myös vektoreiden välisten kulmien, erityisesti kohtisuoruuden, määrittämisen – ihan kuin euklidisessa lähiympäristössämme, väittelijä sanoo.

Schroderuksen tarkastelema operaattoriteoria tutkii lineaarisia kuvauksia normitetuilta vektoriavaruuksilta toisille. Operaattori on sääntö, joka muuttaa vektorin toiseksi vektoriksi.

- Tyypillinen sovelluksissa ilmenevä operaattori kuvaa systeemin muutosta tästä ajan hetkestä seuraavaan, hän sanoo.

Kompositio-operaattoreiden spektrien laskemista

Ääretönulotteinen vektoriavaruus koostuu tyypillisesti funktioista. Analyyttisissä funktioavaruuksissa operaattoriteorialla on pitkä historia, ja se on edelleen aktiivinen tutkimusala matematiikassa.

- Väitöskirjassani lasken tiettyjen kompositio-operaattoreiden spektrejä analyyttisten funktioiden muodostamissa Hilbertin avaruuksissa, Riikka Schroderus kertoo.

Ääretönulotteisessa avaruudessa toimivan operaattorin spektri on yleistys äärellisen matriisin ominaisarvoista.

- Spektrin selvittäminen annetulle konkreettiselle operaattorille on yksi peruskysymyksistä operaattoriteoriassa ja yleisesti ottaen vaikea selvittää, hän sanoo.

Erityiset universaalit operaattorit

Väitöskirjatyössä tarkastellaan myös universaaleja operaattoreita. Ne ovat lineaaristen operaattoreiden joukossa hyvin erityisiä, sillä ne voivat mallintaa mitä tahansa operaattoria sopivaan aliavaruuteen rajoitettuna.

Yksi tutkimuksen tuloksista osoittaa, että universaalin operaattorin spektrillä täytyy olla tietyt ominaisuudet.

Hyperbolisten kompositio-operaattoreiden spektritulosten avulla taas löydetään uusia konkreettisia universaaleja operaattoreita.

Matematiikka ei ole koskaan valmis

Puhdas matematiikka ei tutki fysikaalista todellisuutta ympärillämme vaan riippuvuussuhteita, jotka ovat käsitteellisiä. Se on ajattelua, käsitteiden tiedettä, jossa päättely perustuu matematiikan lainalaisuuksiin.

­- Tieteessä piiloja ei oikeastaan ole, vaan asiat täytyy selvittää – tai ainakin yrittää, Riikka Schroderus sanoo.

- Tutkimustyössä avatun oven takana on aina uusi ovi, se on ikuista ja hyvin kiehtovaa, väittelijä sanoo.

 

Väitöstilaisuus pidetään Exactumin auditoriossa CK112 perjantaina 5.5. kello 12, ja väitöskirja "Spectra of linear fractional composition operators and properties of universal operators" on luettavissa verkosta.

 

Lue lisää aiheesta: Kestävä kehitys