Analyysiä Dirichlet'n sarjoille, syksy 2007

Luennoija

Eero Saksman

Luentoajat

I ja II periodi ti 14-16, pe 12-14 C124.

Ajankohtaista

Luennot ovat päättyneet. Kiitos osanottajille! Sairaslomani hidastaa esseittenne lukemista, jaan opintosuoritusmerkintöjä yksitellen sitä mukaa kun saan esseet luettua. Jos jollakulla on jostain syystä erityinen tarve saada suoritus vielä tämän vuoden puolella, ota yhteyttä minuun e-maililla.

Kirjallisuus

Asiasta ei ole olemassa yksittäistä kirjaa, joka kattaisi materiaalin; kyseessä on varsin tuore tutkimusala. Luennoilla annetaan tarvittavat kirjallisuusviitteet.

Esitietovaatimukset

Funktioteorian, perusmittateorian ja L^p-avaruuksien perustiedot oletetaan tunnetuiksi. Alkeistiedot Hardy-avaruuksista sekä funktionaalianalyysistä ovat hyödyksi, mutta ilmankin pärjää jos on valmis täydentämään tietojaan kurssin kuluessa (luennoilla annetaan tarvittavat viitteet perusoppikirjoihin). Lukuteoriaa sovelletaan luennoilla, muttei sitä oleteta etukäteen tunnetuksi.

Sisältö

Perusmuotoiset Dirichlet'n sarjat ovat analyyttisiä funktioita, jotka voidaan esittää jossain alueessa {Re s>\sigma_0} suppenevana sarjana, jonka yleinen termi on muotoa c_k k^{-s}. Kuuluisin esimerkki tällaisista funktioista on Riemannin zeta-funktio. Dirichletin sarjat liittyvät läheisesti lukuteoriaan, ja yleistä teoriaa niille kehittelivät mm. Bohr ja Hardy viime vuosisadan alkupuolella. Aivan viime aikoina Dirichletin sarjojen muodostamien funktioavaruuksien teoriaa on ryhdytty tutkimaan useiden tutkijoiden toimesta.

Kurssilla käsitellään mm.

1. Dirichletin sarjojen perusominaisuudet: esim. suppenemispuolitasot ja Bohrin lause tasaisesta suppenemisesta.

2. Melkein jaksollisten funktioiden alkeet.

3. Dirichletin sarjojen Hardy-avaruudet. (liittyy ajankohtaiseen tutkimukseen)

4. Edelliseen liittyen: Bohrin korrespondenssi, funktioteoriaa ääretönulotteisessa polykiekossa.

Asema opinnoissa

Kurssi on syventävien opintojen kurssi ja soveltuu analyysin linjalle, tai myöskin opettajalinjan vaativammaksi erikoiskurssiksi.

Suoritustapa

Kurssin voi suorittaa vastaamalla kirjallisiin laskuharjoitustehtäviin sekä kirjoittalla lyhyen esseen yhteistuumin valitusta aiheesta.

Laajuus

10 op, 5 ov

Tehtäväsarjat

Tehtäväkokoelma 1 (palautus 19.10)
Tehtäväkokoelma 2 (palautus 9.11)
Tehtäväkokoelma 3 (palautus 7.12)