Funktion derivaatta muuttujan t suhteen määritellään raja-arvona

Derivaatta siis ilmoittaa funktion muutosvauhdin kussakin pisteessä. Funktion korkeammat derivaatat määritellään vastaavasti. Derivaatan muutosvauhti on funktion toinen derivaatta

Merkinnän sijasta käytetään myös merkintöjä ja erityisesti aikaderivaatasta merkintöjä .

Derivaatan määritelmästä voidaan johtaa seuraavat derivoimissäännöt:

Vakion derivaatta

Muuttujan derivaatta itsensä suhteen

Potenssi

Funktioiden summa

Funktioiden tulo

Funktioiden osamärää

Yhdistetty funktio

Eräiden funktioiden derivaattoja:

Esim. Mikä on :n derivaatta?

;

Integrointi on derivoinnille käänteinen operaatio. Funktion integraalin muuttujan t suhteen muodostavat kaikki ne funktiot joiden derivaatta on funktio , eli

, kun .

C on integroimisvakio, jonka määräämiseksi täytyy tietää funktion arvo jossakin pisteessä. Integrointi on siis sen funktion etsimistä, joka toteuttaa ehdon

.

Seuraavassa eräitä integroimissääntöjä:

Tulon osittaisintegrointi on helppo muistaa tulon derivoimissäännöstä

, kun .

Määrättyyn integraaliin liittyviä sääntöjä

Esim. Funktion derivaatta on . Määritä funktio kun .

Tapa2:

Fysiikassa liikesuureet siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys ovat vektorisuureita. Niillä on sekä suuruus että suunta. (nopeuden skalaariarvo on vauhti)

Suure , jonka määrittelevät sen suuruus ja suunta , on vektorisuure. Vektorisuure voidaan esittää muodossa

missä on :n suunnan ilmaiseva dimensioton yksikkövektori, jonka suuruus on 1.

, .

Huom! Kirjassa vektorit merkitään lihavoiduilla symboleilla. Esim.

on nopeusvektori

on nopeuden suuruus (vauhti)

Vektorin kertominen skalaarilla merkitsee sen itseisarvon kertomista suuntaa muuttamatta,

Vektoreiden yhteen ja vähennyslasku on esitetty kuvassa

Kahden vektorin skalaaritulo eli pistetulo määritellään

,

missä on vektoreiden välinen kulma. Huomaa, että tulos on skalaari.

Huom! on vektorin :n suuntaisen komponentin pituus. Tällöin vektorin :n suuntainen komponentti saadaan pistetulosta

vektoreiden välinen kulma voidaan ilmaista

.

Määritelmästä seuraa, että vektorin skalaaritulo itsensä kanssa on sen itseisarvon neliö

,

ja että toisiaan vastaan kohtisuorien vektoreiden skalaaritulo on nolla,

.

Skalaaritulo on vaihdannainen,

,

ja lineaarinen,

.

Kahden vektorin vektoritulo eli ristitulo määritellään vektoriksi , jonka itseisarvo (pituus) on

ja joka on kohtisuorassa kumpaakin tekijäänsä vastaan siten, että , ja muodostavat tässä järjestyksessä oikeakätisen vektorikolmikon.

Huom. on vektorin :ta vastaan kohtisuoran komponentin pituus. Tällöin on vektoreiden ja virittämän suunnikkaan pinta-ala.

Ristitulo on vaihdannainen kun tulon etumerkki vaihdetaan

,

ja lineaarinen

.

Kolmen vektorin skalaarikolmitulo antaa geometrisesti näiden vektoreiden muodostaman suuntaissärmiön tilavuuden. Tilavuus on negatiivinen, mikäli vektorit muodostavat vasenkätisen kolmikon.

Vektorifunktion derivaatta määritellään raja-arvona

.

Tästä seuraa

Esim. Tarkastellaan vektoria , jonka pituus ei muutu. (esim. vektori pyörii). Nyt

.

Valitaan tarkasteltavaksi oikeakätinen suorakulmainen -koordinaatisto, jolloin vektorisuure voidaan esittää suorakulmaisten komponenttiensa avulla muodossa

,

missä ovat dimensiottomia yksikkövektoreita. Niiden skalaari- ja vektoritulot noudattavat kertotaulua:

Yhteenlasku ja skalaarilla kertominen,

.

Skalaaritulo,

,

jolloin vektorin itseisarvoksi eli pituudeksi saadaan

.

Vektoritulo saadaan determinantista

.

merk. <=>

=>

Esim. Ovatko vektorit , ja samassa tasossa?

=> Eivät ole samassa tasossa.

Skalaarikolmitulo voidaan laskea myös suoraan

Vektorifunktion derivointi ja integrointi palautuu sen komponenttien derivoinniksi ja integroinniksi:

,

,

.

Esim. Laske vektorifunktion derivaatta sekä integraali.

Kun A on nxn matriisi, määritellään sen determinantti

,

missä on alideterminantti, joka saadaan kun A:sta poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Huom! Summattavien etumerkki määräytyy kaavasta .

Eli 3x3 matriisille:

3x3 Matriisille löytyy myös toinen tapa laskea determinantti. Kopioidaan kaksi ensimmäistä saraketta matriisin oikealle puolelle ja kerrotaan tekijät vinosti keskenään kuvan mukaisesti. Vinosti ylhäältä alas lasketut summataan + merkkisinä ja alhaalta ylos lasketut summataan - merkkisenä.