Olen varsin kaikkiruokainen matematiikan suhteen, ja sikäli valmis ohjaamaan pro graduja mitä erilaisimmilta aloilta: äärellisten tai äärettömien mallien teoriasta, diskreetistä matematiikasta (varsinkin äärellisten mallien teoriaa sivuavista aiheista), algebrasta (vastaavasti malliteoriaan tai joukko-oppiin liittyvistä teemoista) tai vaikkapa topologiasta. Seuraava lista on vain jono esimerkkejä, eikä mikään estä pro gradun tekijää ehdottamaan aihetta itse.
Ohjaan pääsääntöisesti matemaattisen logiikan linjan pro graduja, mutta muunkinlaiset linjaukset ovat mahdollisia, kunhan ratkaisu sopii linjan vastaaville henkilöille.
Ramseyn teoria on kombinatoriikan haara, jossa etsitään mahdollisimman säännöllisiä ja homogeenisia rakenteita mielivaltaisten matemaattisten rakenteiden sisältä. Yksinkertaisin epätriviaali esimerkki Ramsey-tyyppisestä tuloksesta on, että kuuden henkilön joukossa on aina kolme, jotka eivät tunne toisiaan, tai kolme, jotka tuntevat kaikki toisensa (kun tuttuus käsitetään molemminpuoliseksi suhteeksi). Tämä matematiikan ala on saanut nimensä Frank Ramseystä, joka 1930 todisti lauseet, joita kutsutaan äärelliseksi ja äärettömäksi Ramseyn lauseeksi. Ääretön Ramseyn lause kertoo, että äärettömässä verkossa on aina ääretön klikki tai ääretön riippumaton joukko. Ramseyn teorialla on runsaasti sovelluksia myös kombinatoriikan ulkopuolella, mm. malliteoriassa ja funktionaalianalyysissa (tutustu esim. Fieldsin mitalistin Tim Gowersin töihin).
Deskriptiivisessä joukko-opissa analysoidaan erilaisten (puolalaisten avaruuksien) joukkojen määriteltävyyden monimutkaisuutta. Borelin hierarkian reaalilukujoukot ovat esimerkkejä siisteistä, yksinkertaisista joukoista; analyyttisten joukkojen perheeseen sisältyy hieman monimutkaisempia joukkoja.
Ellentuckin lause on ääretöntä Ramseyn lausetta yleistävä tulos, joka yhdistää kahta edellistä teemaa. Sen voi sanoa käsittelevän luonnollisten lukujen joukon symmetrisiä siistejä relaatioita.
Esitiedot: Tutkielmanteon aloittamiseen tarvittavat topologian ja joukko-opin taidot voi hankkia monella eri tavalla, esim. jollakin kursseista Topologia II, Aksiomaattinen joukko-oppi tai jopa kurssilla Mitta ja integraali.