Mitta ja integraali (kevät 2008), harjoitustehtävät
1. Harjoitukset (22-24.1.2004).
ps-tiedosto (min08h1.ps) | pdf-tiedosto (min08h1.pdf)
English version:
ps-file (min08h1en.ps) | pdf-file (min08h1en.pdf)

1. luentoviikolla (15.1 ja 17.1) käsiteltiin: Numeroituvuus, Lebesguen ulkomitan määritelmä ja ominaisuuksia (luentomuistiinpanojen sivulle 16 asti).

Malliratkaisut:

1. harjoitusten malliratkaisut (pdf-tiedosto)

2. Harjoitukset (29-31.1.2008).
ps-tiedosto (min08h2.ps) | pdf-tiedosto (min08h2.pdf)
English version:
ps-file (min08h2en.ps) | pdf-file (min08h2en.pdf)

2. luentoviikolla (22.1 ja 24.1) käsiteltiin: Mitallisen joukon määritelmä. Mitallisen joukon komplementin mitallisuus. Mitallisten joukkojen numeroituvan yhdisteen ja leikkauksen mitallisuus. (Luentomuistiinpanojen sivulle 23 saakka.)

Malliratkaisut:

2. harjoitusten malliratkaisut (pdf-tiedosto)

3. Harjoitukset (5-7.2.2008).
ps-tiedosto (min08h3.ps) | pdf-tiedosto (min08h3.pdf)
English version:
ps-file (min08h3en.ps) | pdf-file (min08h3en.pdf)

Vihjeitä, Hints:
(min08h3v.ps) | (min08h3v.pdf)

3. luentoviikolla (29.1 ja 31.1) käsiteltiin: Avointen ja suljettujen joukkojen mitallisuus; sigma-algebra; Borel-joukot; yleinen mitta, mitta-avaruus ja ulkomitta; mittojen konvergenssi. (Luentomuistiinpanojen sivulle 31 saakka.) (Luennoilla ei käsitelty Hausdorffin mittaa eikä Lebesguen mitan yhteyttä Jordan-mittaan.)

Malliratkaisut:

3. harjoitusten malliratkaisut (pdf-tiedosto)

4. Harjoitukset (12-14.2.2008).
ps-tiedosto (min08h4.ps) | pdf-tiedosto (min08h4.pdf)
English version:
ps-file (min08h4en.ps) | pdf-file (min08h4en.pdf)

Vihjeitä:
(min08h4v.ps) | (min08h4v.pdf)

4. luentoviikolla (5.2 ja 7.2) käsiteltiin: Ei-mitallinen joukko, mitalliset kuvaukset. (Luentomuistiinpanojen sivut 31 - 38.)

Malliratkaisut:

4. harjoitusten malliratkaisut (pdf-tiedosto)

5. Harjoitukset (19-21.2.2008).
ps-tiedosto (min08h5.ps) | pdf-tiedosto (min08h5.pdf)
English version:
ps-file (min08h5en.ps) | pdf-file (min08h5en.pdf)

5. luentoviikolla (12.2 ja 14.2) käsiteltiin: Lisää mitallisista funktioista, lukujono liminf ja limsup, rajafunktion mitallisuus. Yksinkertaisten funktioiden Lebesguen integraali. (Luentomuistiinpanojen sivut 39-46).

Malliratkaisut:

5. harjoitusten malliratkaisut (pdf-tiedosto)

6. Harjoitukset (26-28.2.2008).
ps-tiedosto (min08h6.ps) | pdf-tiedosto (min08h6.pdf)
English version:
ps-file (min08h6en.ps) | pdf-file (min08h6en.pdf)

6. luentoviikolla (19.2 ja 21.2) käsiteltiin: Ei-negatiivisten mitallisten funktioiden Lebesguen integraalin määritelmä ja integraalin perusominaisuuksia, Monotonisen konvergenssin lause, Beppo Levin lause, Fatoun lemma. (Luentomuistiinpanojen sivut 47-54).

Malliratkaisut:

6. harjoitusten malliratkaisut (pdf-tiedosto)

7. Harjoitukset (näitä ei käsitellä laskuharjoitusryhmissä).
ps-tiedosto (min08h7.ps) | pdf-tiedosto (min08h7.pdf)
English version:
ps-file (min08h7en.ps) | pdf-file (min08h7en.pdf)

7. luentoviikolla (26.2 ja 28.2) käsiteltiin: Luku 3 loppuun. (Web-version sivut 55-63.) Fubinin lausetta (Luku 4) ei käsitelty tällä kurssilla.

Malliratkaisut:

7. harjoitusten malliratkaisut (pdf-tiedosto)

Ylimääräisiä tehtäviä.
Näitä ei käsitellä laskuharjoitusryhmissä eikä näihin tule malliratkaisuja.

Ylimääräisiä tehtäviä 1:
ps-tiedosto (min08x1.ps) | pdf-tiedosto (min08x1.pdf)

Ylimääräisiä tehtäviä 2:
ps-tiedosto (min08x2.ps) | pdf-tiedosto (min08x2.pdf)

Ylimääräisiä tehtäviä 3:
ps-tiedosto (min08x3.ps) | pdf-tiedosto (min08x3.pdf)

Ylimääräisiä tehtäviä 4:
ps-tiedosto (min08x4.ps) | pdf-tiedosto (min08x4.pdf)

ilkka.holopainen@helsinki.fi