GRADU KOMMUTATIIVISESTA ALGEBRASTA?

Seuraavassa on lueteltu esimerkinomaisesti eräitä aihepiirejä, joiden sisältä sopiva aihe voidaan löytää. Gradun tekeminen kommutatiivisen algebran tai algebrallisen geometrian alueelta edellyttää Algebra II:n hyvää hallintaa. Jotkut koodausteoriaan liittyvät aiheet vaativat vielä lisäksi lukuvuonna 2000-2001 luennoimani kurssin "Koodausteoria ja algebralliset käyrät" tietoja.

 

KOMMUTATIIVINEN ALGEBRA

Kommutatiivinen algebra tutkii renkaan ideaaleja, vastaavia jäännösluokkarenkaita ja sen modulien kategoriaa. Se pyrkii luokittelemaan renkaita numeeristen ja muiden diskreettien invarianttien mukaan. Vaikka kommutatiivinen algebra sai alkunsa klassisesta ideaaliteoriasta, sen tutkimus liittyy nykyään läheisesti algebralliseen geometriaan, homologiseen algebraan ja algebralliseen kombinatoriikkaan. Myös tietokoneen avulla tehtävillä kokeiluilla on siinä huomattava osa. Oheinen kuva esittää Oberwolfachissa järjestetyn kongressin "Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie" osanottajia.

Algebrallisten varistojen erikoispisteiden tutkimus on keskeinen osa algebrallista geometriaa ja kommutatiivista algebraa. Hironakan kuuluisa lause sanoo, että jokainen kompleksilukujen kunnan yli määritelty algebrallinen varisto voidaan desingularisoida. Tämä tapahtuu käyttämällä räjäytykseksi kutsuttua operaatiota. Ensimmäinen askel kohti variston desingularisaatiota on sen normalisaatio. Käyrällä normalisaatio on jo desingularisaatio. Algebralliselta kannalta normalisaatiossa on kysymys variston koordinaattirenkaan normalisoinnista.

Eräs kommutatiivisen algebran perustyöväline on ideaalin primaarihajotelma. Tämä on saanut alkunsa 1800-luvun lukuteoreetikkojen yrityksistä laajentaa kokonaislukujen alkutekijöihin jako koskemaan kokonaislukujen rengasta monimutkaisempiin renkaisiin.

Modulin tutkiminen edellyttää paitsi sen virittäjien myös näiden välisten lineaaristen relaatioiden tuntemusta. Näitä kutsutaan syzygeiksi. Jos moduli esitetään vapaan modulin tekijämodulina, niin vastaavan kanonisen surjektion ydintä sanotaan syzygien moduliksi. Tätä konstruktiota toistamalla löydetään modulille vapaista moduleista koostuva resoluutio. Vapaat resoluutiot mahdollistavat homologisen algebran menetelmien käyttöönoton. Eräs hyödyllinen apuväline on Koszulin kompleksi. Koszulin kompleksin avulla voidaan määritellä keskeinen moduliin liittyvä numeerinen invariantti - sen syvyys. Jos renkaan syvyys on sama kuin sen Krullin dimensio, rengasta sanotaan Cohen-Macaulay-renkaaksi. Epäsäännöllisinäkin nämä renkaat ovat tietyssä mielessä riittävän säännöllisiä: Prof. Melvin Hochsterin sanoin "elämä on elämisen arvoista vasta Cohen-Macaulay-renkaassa". Modulin lokaali kohomologia liittyy sen injektiiviseen resoluutioon. Se on yksi modernin kommutatiivisen algebran tärkeimmistä työkaluista.

Porrastetun modulin Hilbertin funktio mittaa sen homogeenisten komponenttien kokoa näiden asteen funktiona. Korkeissa portaissa tämä on polynomi. Sen korkeimman asteen kerroin on vakiota vaille modulin multiplisiteetti. Projektiivisen alivaruuden alivariston koordinaattirenkaan tapauksessa se ilmoittaa variston ja komplementaarista dimensiota olevan lineaarisen alivaruuden leikkauspisteiden lukumäärän.

Tietokoneiden kehittyessä laskennallinen kommutatiivinen algebra on muodostunut kommutatiivisen algebran tärkeäksi osa-alueeksi, jolla on sitäpaitsi lukuisia käytännön sovelluksia. Erinomainen johdatus tähän alaan on D. Coxin oppikirja "Using Algebraic geometry" (Springer Verlag, 1998). Hyvä yleiskatsaus on myös G.M.Greuelin artikkeli "Computer Algebra and Algebraic Geometry -Achievements and Perspectives". Tämän alan peruskäsite on ideaalin Gröbnerin baasi. Alla mainitut aihepiirit liittyvät tämän käsitteen yleistyksiin. Laskennalliseen kommutatiiviseen algebraan liittyviä aiheita löytyy myös edellä luetelluista aihepiireistä.

ALGEBRALLIS-GEOMETRISET KOODIT